M. Àngels Cabasés Piqué
Universidad de Lleida

Abstract The current research is an in-depth study about the specification of the models that can be used as concentration curves, taking several theoretical studies which analyse inequality models as the starting point. This study starts analysing whether a quadratic form suggested by Villaseñor and Arnold (1984) can adjust to the concentration curve, having previously calculated the density function that derives from it. Once defined the several specific models that are obtained as a result of assigning data to the parameters of the initial model, we calculate the concentration measurements, among which the Pietra coefficient and the Gini coefficient stand out. The final stage of this study will consist of an empirical application whose main goal is to quantify the inequalities in the GNP per capita in the regions of Catalonia in 1991, 1996 and 2000, using the quadratic curves analysed which best fit the collected data. Resumen En el presente trabajo se pretende profundizar en la especificación de modelos que tengan utilidad como curvas de concentración, tomando como punto de partida diversos estudios teóricos que analizan modelos de desigualdad. El estudio se inicia a partir de una forma cuadrática propuesta por Villaseñor y Arnold (1984) para ver si puede ajustarse como curva de concentración, previo cálculo de la función de densidad que de ella se deriva. Una vez definidos los diferentes modelos particulares que se obtienen como consecuencia de la asignación de valores a los parámetros del modelo inicial, se calculan medidas de concentración entre las cuales cabe destacar: el índice de Pietra y el índice de Gini. Para finalizar el estudio se realiza una aplicación empírica que persigue cuantificar las desigualdades en el PIB por cápita de las comarcas de Cataluña para los años 1991, 1996 y 2000, utilizando las curvas cuadráticas analizadas que mejor se adaptan a los datos presentados.

INTRODUCCIÓN    Una de las áreas de mayor interés en el ámbito del estudio de la concentración de una variable económica, ha sido la especificación de su distribución junto con la elección de una o más medidas de concentración. Diversos autores han realizado investigaciones en este sentido y han sugerido distintas curvas de concentración. Algunos de ellos como Pareto (1896), Aitchison y Brown (1957), Fisk (1961), Salem y Mount (1974), Singh (1976), Maddala (1976), Gail (1978), Gastwirth (1978), Basmann (1990), McDonald (1979) entre otros, han efectuado estudios basándose en modelos de probabilidad teóricos. Destacan las aportaciones por Kakwani y Podder (1973), Villaseñor y Arnold (1989) y Gupta (1984) ya que han propuesto nuevas formas funcionales para definir una curva de concentración mediante las cuales se obtienen medidas de la desigualdad, de fácil interpretación. Todos tienen un punto en común, estudiar modelos de probabilidad teóricos en los cuales se fundamentan las curvas de concentración, y que en gran medida describan el comportamiento de los datos que se disponen. 1.-PRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE CONCENTRACIÓN    Este trabajo parte de la forma cuadrática propuesta por Villaseñor y Arnold (1989) que definen como:       El objetivo que se pretende con esta investigación es analizar si este modelo puede ajustarse a una curva de concentración. Para ello se hace necesario obtener una función q, que por un lado, sea una función de p (tomando a q como la función de concentración y a p como la función de acumulación de probabilidad), y por otro lado, que cumpla con las propiedades:       Si efectuamos el análisis de las propiedades en el modelo propuesto observamos que no se cumplen y por tanto no puede ser considerado como una curva de concentración. Bajo esta línea de investigación, el siguiente paso añade a la forma anterior distintos términos para conseguir modelos de concentración. En concreto se consideran de forma aditiva:    En primer lugar, el modelo M2: [M2]       Para el qual se hace necesario hallar un conjunto de restricciones en los parámetros para que se cumplan las propiedades de una curva de concentración. Esta tarea resulta ardua i compleja, presentándose diferentes alternativas, motivo por el cual las restricciones que a continuación se presentan permiten que la curva sea una curva de concentración elíptica.    El estudio de esta nueva forma cuadrática lleva a las siguientes conclusiones:    a) Si se asigna al parámetro c el valor 0, no se obtiene ninguna curva de Lorenz puesto que nos hallamos con la misma problemática que con la ecuación M1.    b) Si se asigna al parámetro c un valor distinto a 0 y en concreto el caso, c = 1, la posible curva de concentración toma la forma:    1    Esta función cuadrática [C1] es una verdadera función de concentración si:       En segundo lugar, la ecuación M3:       A partir de la cual, podemos obtener las siguientes conclusiones:    a) Suponiendo que el parámetro c tome el valor 0, la función es:       Con:    b) Suponiendo que el parámetro c tome el valor 1, la función a estudiar será:       Si los parámetros toman los valores:        Y en tercer lugar se estudia una forma cuadrática más general, M4:       De igual forma se supone que el parámetro c toma el valor 0, obteniéndose la función:    2    Si:    En el caso particular para c = 1 la función q pasará a ser la siguiente:    3    Junto con las restricciones siguientes para cumplir con las propiedades deseadas:    2.- CÁLCULO DE LAS DENSIDADES DERIVADAS DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS    Existen muchas curvas de Lorenz, propuestas por diferentes autores, que no se han calculado a partir de las densidades conocidas de la variable objeto de estudio. Tal es el caso de la curva de concentración con forma cuadrática más general que se ha propuesto anteriormente.    A pesar de desconocer la densidad de la variable aleatoria, es posible su cálculo si se tiene en cuenta que para , se cumple:    4    En concreto en este trabajo, se obtienen las funciones de densidad derivadas de la expresión M4 que engloba los distintos parámetros estudiados en los modelos M2 y M3. Resultan interesantes los casos particulares que se presentan a continuación:    1. De la curva [C2] si se supone que el parámetro b toma el valor 0, la función de probabilidad acumulada será: con un dominio de la variable y una función de densidad tal como   Podemos observar que se corresponde con una densidad uniforme.    2. Partiendo de la curva cuadrática más general [M4] y suponiendo       Resulta una función de densidad, tal como: . Si d =1 se corresponde con la función de densidad de la distribución de Pareto, para .    3. Continuando con la misma curva [M4] pero suponiendo que       4. De la curva [C4] con b = 0, la función de acumulación de probabilidad, el dominio de x y la función de densidad que se obtienen son:       Esta función de densidad también se corresponde con una distribución uniforme.    5. Partiendo nuevamente, de la curva cuadrática más general [M4] y considerando que se obtiene:    3.- CÁLCULO DEL VALOR MÁXIMO EN LAS CURVAS CUADRÁTICAS PARTICULARES    El valor de la máxima diferencia entre la función de acumulación de probabilidad p y la curva de concentración q(p) se halla donde la función presenta su máximo tal y como puede observarse en el gráfico 1.    Gráfico 1. Máxima distancia entre la curva y la recta igualitaria       Esta diferencia se considera la distancia perpendicular a la abscisa cuando Como , entonces ocurre que D´(p) = 0 si y solo si D´(x) = 0 , se cumple para 5    Por tanto, la máxima diferencia entre la curva y la recta igualitaria se produce cuando teniendo en cuenta que en el punto la curva de concentración toma su máximo y la pendiente en este punto coincide con la pendiente de la bisectriz principal:       También, si se observa el gráfico anterior puede observarse como el punto es el vértice del mayor triángulo que se puede inscribir dentro de la curva, el cual a su vez, se considera como la cota inferior del índice de Gini.    En esta línea Pietra (1930) obtiene una medida de concentración de la variable, que demuestra es igual a la máxima discrepancia entre la curva y la recta igualitaria:6       Siguiendo el mismo orden utilizado en la deducción de las curvas cuadráticas particulares, hemos obtenido el cálculo del valor máximo de cada función puesto que el índice de Pietra puede considerarse una medida adecuada de la desigualdad de una distribución:    4.- CÁLCULO DEL ÍNDICE DE GINI    Tradicionalmente el índice se define como el doble del área comprendida entre la curva y la recta igualitaria de forma que la expresión que le corresponde es:       Para el cálculo del índice derivado de la curva cuadrática general se ha considerado el índice en función del valor medio de la masa acumulada de variable. Gráficamente el área de concentración es la siguiente:    Gráfico 2. Área de concentración       El doble del área es por tanto,       Y el índice de Gini de la curva cuadrática general resulta una expresión un tanto incómoda y por tanto se simplifica considerando:       5.- APLICACIÓN A LA VARIABLE ECONÓMICA PIB PER CÁPITA    Con los datos correspondientes al PIB per cápita7 de las comarcas de Cataluña para los años 1991, 1996 y 2000, se han ensayado todas las posibilidades que ofrece la curva cuadrática general:       Partiendo de este modelo, el ajuste se ha realizado considerando los siguientes cambios:       Siendo necesario que para que el modelo sea una verdadera curva de concentración. Los datos correspondientes al PIB per cápita se presentan a continuación en la tabla 1.    En el contexto de este trabajo, se identifica, en términos de variable aleatoria a p como la fracción de población comarcal acumulada y a q(p) como la fracción de PIB comarcal acumulado, en ambos casos en una distribución ordenada en términos per cápita.    Tabla 1. PIB per cápita y población por comarcas de Cataluña Años 1991, 1996 y 2000. Fuente: Anuario de "La Caixa de Castalunya" (1998 Y 2001)    Para cada uno de los años que abarca el estudio hemos dispuesto una ordenación por comarcas según el nivel de PIB per cápita. No todos los modelos posibles que se han presentado en la primera parte de este trabajo han proporcionado ajustes de calidad, es decir, los parámetros estimados no han permitido que se cumplan las propiedades de una curva de concentración.    En los tres años considerados, ha funcionado el modelo cuando b = a = 0 y c = 1, dando lugar a la siguiente función de concentración:       Parámetro que determina la concentración de la distribución del PIB per cápita en las comarcas de la comunidad autónoma de Cataluña.    El resultado de los ajustes para los dos años se presenta en los cuadros 1 y 2 y la representación en el gráfico 3.    Por otro lado y para el año 1991 ha funcionado el modelo cuando c = b = 0 dando lugar a la expresión:       Obtenemos la correspondiente estimación en el cuadro 4 para el año 1991.    Las estimaciones anteriores permiten obtener las curvas de concentración y dos medidas de desigualdad, el índice de Pietra y el índice de Gini que en particular, toman los valores que se presentan en los cuadros 5 y 6.    En primer lugar se observa en el cuadro 5 como el valor de los índices de concentración crecen a medida que el parámetro estimado en los cuadros del 1 al 3 disminuye. Es decir, cuanto menor es el valor del parámetro estimado de los modelos considerados, mayor es la concentración que se observa.    Puede observarse que tanto el índice de Gini como el índice de Pietra presentan unos valores muy bajos y aunque indican un aumento de desigualdad en los años 1996 y 2000, puesto que el valor de los índices aumenta en estos periodos, consideramos que el PIB en las comarcas de Cataluña no esta muy concentrado. Si se considera el siguiente caso particular, cuando c = b = 0, como vemos en el cuadro6, la conclusión para el año 1991 es la misma aunque los valores de los índices son sensiblemente mayores que en el caso anterior.    Una vez estimadas las curvas de concentración cuadráticas que han permitido el cálculo de las medidas de concentración, es interesante poder compararlas con los valores obtenidos de medidas descriptivas de la desigualdad. Las medidas que se consideran oportunas son: coeficiente de variación (V), varianza logarítmica (Varlog), índice de Pietra (P), índice de Gini (G), índice de Theil (T) y índice de Atkinson de orden 0,5 (A).    En primer lugar se observa como todas las medidas descriptivas de la concentración presentan unos valores bajos indicativos de que el PIB comarcal catalán presenta poca desigualdad. También se observa como esta desigualdad crece con los años, es decir, se observa un aumento de la concentración del PIB para el año 2000 con respecto al año 1991. Estos resultados coinciden con los obtenidos mediante las curvas de concentración cuadráticas tal y como se observa en los cuadros 5 y 6. 6.- CONCLUSIONES    1. En base al modelo propuesto por Villaseñor y Arnold (1989) se obtienen modelos de concentración considerando restricciones en sus parámetros.    2. Es posible calcular las funciones de densidad que se derivan de algunos modelos de concentración cuadráticos estudiados. 3. De las distintas curvas de concentración desarrolladas se calculan medidas que pretenden medir el grado de desigualdad de la variable, tales como el índice de Pietra y el índice de Gini. 4. Considerando la variable PIB per capita de las comarcas de Cataluña, se estima para los años 1991, 1996 y 2000 la función de concentración: obteniendo unos buenos ajustes. 5. Las estimaciones permiten obtener el cálculo de medidas de desigualdad (el índice de Pietra y el índice de Gini): 6. En primer lugar se observa cuanto menor es el valor del parámetro estimado del modelo considerado, mayor es la concentración que se observa y en segundo lugar un aumento en la desigualdad del reparto del PIB per capita de las comarcas de Cataluña en los años 2000 y 1996 con respecto al año 1991. Notas a pié de página 1 En este modelo se ha considerado el valor negativo de la raíz puesto que es el procedimiento más indicado para obtener las conclusiones que se desean alcanzar.  2 En concreto, se considera el tramo que pasa por los puntos (0,0) y (1,1), siendo necesario que e = - a - b - d.  3 Con la condición a + b + 1 + d + e = 0 para que pase por los puntos (1,1) y (0,0)  4 De forma que el dominio de la variable aleatoria será: Puesto que el mínimo de y el máximo de  5 Cabe esperar que  6 Posteriormente, Gastwirth (1972), estudiando medidas de concentración alternativas al Índice de Gini obtiene el Índice de Pietra al analizar la mitad de la desviación media relativa: donde  7 Según el SEC el producto interior bruto a precios de mercado representa el valor final de la actividad de producción de las unidades productoras en el territorio y corresponde a la producción total de bienes y servicios de la economía menos el total de consumo intermedio, más el IVA que grava los productos y más los impuestos ligados a la importación. 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