Lunes, 16 de Mayo de 2022

Atlantic Review of Economics 

            Revista Atlántica de Economía

Colegio de Economistas da Coruña
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Volumen 1 Número 14: Determinación de la Jornada de Trabajo en un Modelo de Equilibrio General.

 

Antonio García Sánchez
Universidad Politécnica de Cartagena (España)

María del Mar Vázquez Méndez
Universidad Politécnica de Cartagena (España)

Reference: Received 17th September 2002; Published 28th November 2002. ISSN 1579-1475

Este Working Paper se encuentra recogido en DOAJ - Directory of Open Access Journals
http://www.doaj.org/

 

Abstract

    This paper analyses the determination of the working time in two aspects: duration and timing. The result emerges from the equilibrium between the labor demand made by the firms and the labor supply by the employees. For this objetive, we define the technology which organise the inputs in shiftwork. We also define the preferences of the labor force respect to work in the different shifts which are available. The model determines at the equilibrium both the amount of inputs and the timing of shifts.

Resumen

    En este trabajo se analiza la determinación de la jornada laboral, tanto su duración como el horario en que se desarrolla, como resultado del equilibrio entre la demanda de trabajo por parte de la empresa y la oferta por parte de los trabajadores. Para ello se define una tecnología que organiza los factores de producción en turnos de trabajo, y se definen las preferencias de los trabajadores acerca de trabajar en las diferentes jornadas posibles. En el equilibrio se determina, por tanto, la cantidad de factores empleada y en qué horario.

 


1. Introducción

Trabajar durante un mismo período de tiempo con similares o, al menos, aproximadas horas de inicio y finalización es preferido por un elevado porcentaje de empresas y empleados, tanto por cuestiones económicas, sociales, culturales, ambientales (luz, temperatura, etc.) como por aprovechar la externalidad positiva que surge del potencial para comunicación y coordinación entre empleados que trabajan al mismo tiempo. En Estados Unidos el 80% de los trabajadores a tiempo completo comienzan la jornada entre las 7 y las 9 de la mañana y finalizan entre las 4 y las 6 de la tarde, sólo un 26% trabaja los fines de semana (Weiss (1996)).

No obstante, la introducción de turnos de trabajo ha permitido aumentar el tiempo operativo del capital instalado en las industrias manufactureras durante el último cuarto del siglo XX. Este hecho ha tenido gran influencia en el aumento de la productividad de los factores (Foss (1997)). Alfred Marshall (1961) ya escribió que el capital, con frecuencia inutilizado durante 16 horas al día, tendría que ser utilizado más intensivamente para conseguir aumentar el estándar de vida.

En la literatura del análisis económico el horario de trabajo ha recibido poca atención. El interés se ha centrado más en lo relacionado con horas extraordinarias (su determinación, prima, etc.) y en menor medida existen referencias sobre el trabajo a turnos. El trabajo pionero de Sargent (1978) considera la diferencia para los costes totales de la empresa de ampliar las horas de trabajo mediante horas extras en un mismo turno, frente a la alternativa de introducir un nuevo turno. Calmfors y Hoel (1989) analiza el efecto de considerar distintas elasticidades de sustitución entre los factores productivos sobre la posibilidad de reducir la jornada de trabajo y, simultáneamente, aumentar el tiempo de utilización del capital mediante el incremento en el número de turnos, siendo éstos iguales entre sí, en cuanto a su duración y número de trabajadores en cada turno. En Mayshar y Halevy (1997) el empleo fluctúa entre distintos márgenes: el número total de empleados, su distribución entre turnos discretos y no simultáneos y la duración de la jornada. En trabajos de orientación menos teórica, aplicados sobre todo a la industria automovilística, se considera una de las variables de decisión de la empresa la introducción o no de nuevos turnos, Bresnahan y Ramey (1994), Aizcorbe (1992).

Por el contrario, la determinación de las horas de trabajo sí ha sido ampliamente tratada en la literatura con distintos enfoques. Así, modelos de ciclos que se centran en la determinación endógena de empleo y horas: Kydland y Prescott (1991), Hornstein y Prescott (1993), Cho y Cooley (1994). Modelos que analizan la coordinación entre trabajadores como factor determinante de las jornadas de trabajo y del empleo: Lewis (1969), Rosen (1974, 1977), Deardorff y Stafford (1976) y Weiss (1996), en un enfoque de equilibrio parcial. También, modelos de determinación de la jornada en un contexto de equilibrio general con trabajo heterogéneo, Fitzgerald (1998, b) y además coordinado en equipos Fitzgerald (1998, a). Finalmente, en este grupo podemos incluir los modelos de negociación entre empresa y sindicato, donde las horas de trabajo son objeto de negociación, Booth y Ravallion (1993), Hansen et al. (2000).

Nuestro interés se centra en analizar la determinación no sólo de cuánto se trabaja sino también de cuándo se trabaja. Para ello hay que considerar la ordenación, el "timing" de la jornada de trabajo. Por tanto, recurrimos a un concepto de turno de trabajo amplio, es decir, se define éste por un equipo de trabajadores que realizan la misma jornada y que comparten un stock de capital. Se trata de una extensión de la definición de equipo utilizada en Fitzgerald (1998, a). Por tanto, podemos considerar turnos diferentes entre sí en cuanto al número de trabajadores, el stock de capital utilizado, y el tipo de jornada, puesto que, a su vez, existe la posibilidad de realizar jornadas de distinta duración y/o con distintos momentos de inicio. Ello implica que a lo largo del período considerado (día, semana, mes, etc.) existen jornadas de trabajo que comienzan en distintos momentos, similar a lo que ocurre en los. sistemas de turnos habituales, y además, la duración puede ser distinta, dando lugar, teóricamente a una gran variedad de jornadas de trabajo. A modo de ejemplo, supongamos una empresa en la que hay trabajadores que realizan jornadas de ocho horas en tres turnos diarios y, simultáneamente, otros que realizan jornadas de seis horas en cuatro turnos distintos, entonces, de acuerdo con nuestra definición, en dicha empresa existen siete jornadas distintas. Supondremos, además, que el salario va a depender del tipo de jornada, tanto de la duración como del momento de inicio.

Aunque en el modelo consideramos que la variedad de tipos de jornada es grande, será un número finito, lo cual se enmarca en el concepto de trabajo "indivisible" de Rogerson (1988) y Hansen (1985), según el cual los agentes ofrecen trabajo para una jornada de duración predeterminada o, alternativamente, no trabajan. Ello conduce a que no puede haber variaciones en las horas trabajadas por un individuo. Por el contrario, el trabajo "divisible" propuesto por Lucas y Rapping (1969), implica que los trabajadores pueden elegir cualquier fracción del período de tiempo disponible. En nuestro modelo, el trabajador puede elegir entre un número más o menos grande de jornadas distintas, determinadas previamente, y en el equilibrio trabajará una de dichas jornadas, o incluso puede que no trabaje.

El trabajo indivisible implica la no convexidad del conjunto de posibilidades de consumo y del conjunto de posibilidades de producción, aunque se convexifican con la introducción de loterías de empleo. Siguiendo el enfoque de Hornstein y Prescott (1993) y Fitzgerald (1998, a) de representar la economía en un contexto de equilibrio general tipo McKenzie (1959), el conjunto de posibilidades de producción se convierte en un cono convexo, y además, con agentes idénticos permite obtener un resultado en el que algunos trabajan, otros no, y entre los que sí trabajan no todos realizan el mismo tipo de jornada. Nuestra principal aportación consiste en definir e introducir en este contexto el. concepto de turno de trabajo más amplio, tal y como se ha definido anteriormente.

El esquema del artículo es el siguiente: primero se describe la economía. A continuación se determina en el marco del equilibrio competitivo estático el número de turnos óptimo y sus características en función del capital existente en la economía. Posteriormente se determinan los salarios y el empleo demandado para cada turno. En la última parte se analizan las características del sistema de turnos definiendo las preferencias de los individuos por las distintas jornadas y la producción resultante de cada turno. Finalizamos con las implicaciones y consideraciones que se deducen del modelo.


2. Descripción de la Economía

La economía dura un período, de longitud 1, y está poblada por un continuo de agentes con medida 1. Todos los agentes son idénticos. Están dotados con unidades de capital y una unidad de tiempo que pueden destinar a trabajar, h, y/o a ocio, l = 1-h.

2.1 Tecnología

La producción se lleva a cabo por equipos de trabajadores que pueden realizar su trabajo en distintos turnos, lo cual permite utilizar el capital durante más tiempo que el correspondiente a una jornada de trabajo. Consideramos que no sólo existen distintas duraciones de jornada, sino también, dichas jornadas pueden comenzar en distintos momentos. En principio, distinguimos entre jornada de trabajo y turno de trabajo:

Definición 1: una jornada de trabajo se define por un momento de inicio y por una duración. Llamando t al momento de inicio y h a la duración, una jornada s se define como el par s = (t,h).

Definición 2: un grupo de trabajadores que utilizan cierta cantidad de capital, simultáneamente, durante determinada jornada constituyen lo que denominamos un turno de trabajo.

Así, si e es el número de trabajadores del grupo, y k es el stock de capital que utilizan, un tipo de turno se define por la combinación (t,h,k,e).

Hornstein y Prescott (1993) introduce la posibilidad de que tanto el número de horas de funcionamiento de una planta como el número de empleados pueda variar. Para ello definen un tipo de planta por la terna ( h, k, e). Comparando su modelo con la tecnología que proponemos, estamos incluyendo adicionalmente que cada planta pueda ser operada por más de un turno. En cuanto a la producción de un turno, distinguimos entre la producción instantánea (lo que podríamos identificar como el output por unidad de tiempo: hora, minuto, etc.), y la producción total de ese turno. Para la producción instantánea suponemos una función de producción neoclásica con rendimientos constantes a escala, que denominamos: f(k,e). Pero la producción total de un turno dependerá también del tipo de jornada que realice. Lógicamente influyen la duración y el momento de inicio. Es decir, vamos a considerar, por ejemplo, que no es igual de productiva una jornada de ocho horas por la mañana que por la noche. Entonces el output de un turno de tipo (t,h,k,e) es:

donde g(t,h) es una función que indica el tiempo efectivamente productivo de la jornada que empieza en t y acaba en t + h. Si S es el conjunto de posibles jornadas, entonces multiplica el output instantáneo del turno que realiza la jornada (t,h) . Entonces, aunque tanto el capital como el trabajo son homogéneos, se convierten en tipos diferenciados de trabajo y de capital en función de la jornada en que se utilizan..


2.2 Espacio de bienes

Aunque el modelo se desarrolla en tiempo continuo, suponemos que tanto el conjunto de posibles duraciones de la jornada como de posibles momentos de inicio es finito. El conjunto de posibles duraciones de la jornada es H, siendo ,, con , y Las duraciones de la jornada determinan los posibles momentos de inicio, es decir, existirá un conjunto, , de posibles momentos de inicio, donde , , ó según , y así, sucesivamente, de forma que, además del momento 0, cada vez que acaba una jornada puede comenzar otra de igual o distinta duración, a excepción del momento final del período, que no puede existir como momento de inicio. Por ello, el conjunto de posibles jornadas, estará formado por una serie de pares , finito y definido como , siendo:

es decir, la propia definición del conjunto excluye las jornadas imposibles por extenderse más allá del período considerado, e incluye la jornada (0,0) que es la que representa la duración 0. Supondremos, además, que el número de posibles jornadas es y es mayor que el número de posibles momentos de inicio .

La introducción de este número limitado de jornadas crea una indivisibilidad porque la gente no puede trabajar, por ejemplo, 1/3 de una jornada y 2/3 de otra. Una estrategia útil para trabajar analíticamente con economías que presentan indivisibilidades es utilizar loterías, siguiendo Rogerson (1988). Es decir, permitimos que los agentes ofrezcan una cierta probabilidad de trabajar en cada jornada, y trabajarán sólo una (dependiendo del resultado de la lotería).

El espacio de bienes , donde M(S) es el conjunto de medidas con señal sobre la sigma álgebra de Borel de S. Un elemento de L es (c,k,n) donde c es el bien de consumo, k son los. servicios del stock de capital y n es una medida sobre las diferentes jornadas. Una unidad de capital proporciona una unidad de servicios de capital. Como S es finito, n es un vector y n(s) es una medida de la jornada s (con momento de inicio t y duración h).

2.3 Conjunto de posibilidades de producción

Un tipo de turno, que denotamos (s,k,e) es un elemento del conjunto J, siendo .Además, J es finito y podemos enumerar los tipos de turnos por donde es el número de posibles tipos de turnos. Antes de definir el conjunto de posibilidades de producción, definimos un plan de producción. En general, el plan de producción consiste en decidir cómo distribuir los inputs entre todos los tipos de turnos, teniendo en cuenta que los trabajadores están disponibles para jornadas concretas, mientras que el capital está disponible al comienzo del período, y cada vez que acaba un turno el capital por ellos utilizado queda disponible para ser utilizado por otro turno.
Llamamos a la medida de turnos tipo j que se pongan en funcionamiento, entonces el plan de producción será un vector de números, , que describe cómo los inputs se distribuyen entre los distintos turnos.

El conjunto de posibilidades de producción, Y, se define como:

La primera restricción indica que la cantidad total del bien de consumo es menor o igual que el output total producido por todos los tipos de turnos. La segunda restricción indica que en cada posible momento de inicio, el capital asignado a todos los turnos que comienzan a producir en ese momento o que comenzaron a producir en un momento anterior y todavía continúan funcionando, tiene que ser menor o igual que el capital disponible en la economía. Análogamente, la tercera restricción refleja que el trabajo utilizado por los turnos que realizan una jornada determinada tiene que ser menor o igual que el empleo disponible para esa jornada. Dada la definición del conjunto Y, éste es un cono convexo.


2.4 Preferencias

La descripción de la economía se completa presentando la ordenación de preferencias de los consumidores y sus combinaciones de consumo asequibles. La utilidad de un agente que elige una combinación del espacio de bienes está dada por:

donde es la función que mide la desutilidad de trabajar cada jornada s. Además: . La función se supone continuamente diferenciable y estrictamente cóncava. El término es la desutilidad esperada de trabajar.
El conjunto de posibilidades de consumo de cada agente es:

es decir, además de las restricciones estándar de no negatividad, el capital está restringido por la dotación inicial, y n es una medida de probabilidad..


3. Equilibrio Competitivo

Los bienes intercambiados están dados por x = (c,k,n)Los precios se expresan en términos del bien de consumo. El precio del capital es r. El salario es una función w que asigna números reales a las medidas sobre tipos de jornadas. Con un conjunto finito de posibles jornadas, w es un vector de precios, donde w(s) es el salario de la jornada. Es decir, si una persona trabaja la jornada s con probabilidad 1, recibe unidades w(s) del bien de consumo.

3.1 Problema de decisión de la empresa

La empresa alquila capital, contrata trabajadores para distintas jornadas y decide cómo asignar esos recursos entre turnos de diferentes tipos. Al contratar el trabajo, la empresa compra contratos en forma de loterías, que especifican la probabilidad de que una persona trabaje distintas jornadas, y puede incluir también la jornada cero. Al mismo tiempo, como hay un continuo de agentes, la empresa está comprando un gran número de esos contratos y no enfrenta ninguna incertidumbre acerca del número de personas que trabajarán una jornada u otra. Como todos los agentes son idénticos, todos elegirán el mismo contrato, es decir, las mismas probabilidades de trabajar cada jornada, pero eso no quiere decir que todos trabajen la misma jornada, sino que en cada jornada trabaja un porcentaje de gente similar a la probabilidad elegida en el contrato de trabajar esa jornada. Además, el salario que el individuo enfrenta en cada jornada es independiente de la probabilidad que elija de trabajar en esa jornada.

Entonces, dados los precios (r,w), la empresa elige las cantidades (C,K,N)que resuelven:
max :
.

donde N(s) es la medida de gente que trabaja la jornada s.


3.2 Problema de decisión de los agentes

En esta economía los agentes compran el bien de consumo y venden el capital y los servicios del trabajo a la empresa. Esto último lo hacen vendiendo un contrato en forma de lotería que especifica una probabilidad de trabajar diferentes jornadas. La cantidad que el individuo recibe por ese contrato no depende del resultado de la lotería, es decir, de la jornada en la que efectivamente trabaje.

Los individuos resuelven:

3.3 Definición de equilibrio

Un equilibrio competitivo para esta economía es una asignación y un sistema de precios (r,w) tal que:

Nos centramos en asignaciones de equilibrio anónimas que tienen la propiedad de que como todos los agentes son iguales, todos eligen el mismo punto. Aunque ello no quiere decir que todos trabajen la misma jornada, puesto que el punto elegido asigna, como comentábamos, probabilidades a las distintas jornadas.

Como el espacio de bienes es de dimensión finita, dado que S es un conjunto finito, el primer y segundo teorema del bienestar se cumplen (Stokey y Lucas (1989)), por tanto, se pueden analizar las propiedades del Optimo de Pareto anónimo de esta economía para establecer propiedades de las asignaciones del equilibrio competitivo. Además, en economías con un sólo tipo de agente, el equilibrio competitivo anónimo y la asignación Pareto-óptima anónima coinciden (Hornstein y Prescott (1993)).

El problema del planificador social sería:


Las características de la asignación Pareto-óptima anónima pueden ser deducidas analizando un problema equivalente más simple. Para esta versión simplificada no distinguimos entre la organización de la producción, el vector z, y la oferta de jornadas de trabajo, el vector n. Así, un evento j es una terna (t,h,k)que representa a un turno que realiza la jornada h, a partir del momento t, y que utiliza k unidades de capital por empleado. Existe un número finito, , de ternas. (t,h,k), denominados . La asignación Pareto-óptima resuelve:


El conjunto delimitado por las restricciones (11)-(13) es cerrado, acotado y no vacío , y la función objetivo (10) es continua en c y n, por tanto existe solución.

Dividimos el problema en dos subproblemas: uno de programación lineal y otro de programación no lineal. Para ello definimos la función ,como:

Esta función mide la desutilidad esperada de trabajar asociada al plan de trabajo n. Además, V(n) es lineal en n, y para un valor dado de c, el conjunto definido por las restricciones (11)-(13) es un poliedro convexo. Entonces, siguiendo a Intriligator (1971), y con el siguiente:
SUPUESTO 1: La pendiente de los contornos de la función V(n) no es igual a la pendiente de ninguna de las caras del poliedro convexo definido por las restricciones (11)-(13) para cualquier valor dado de c.

PROPOSICION 1: La solución de maximizar (10) sujeto a (11)-(12) es única y el número de ternas (t,h,k) que reciben masa estrictamente positiva es menor o igual a .
Prueba: la división del problema en dos, nos permite plantear:



Sea la solución de sujeto a (i.1)-(i.3). W(C) es la menor suma de desutilidades de trabajar asociada a la producción de C unidades de output, y es el mayor valor posible de C que puede ser producido. La teoría de la programación lineal garantiza que para existe una solución a (P1) que tiene como máximo un número de incógnitas distintas de cero igual al número de restricciones, en este caso . Y por el supuesto 1 anterior esta solución será única. Entonces, el problema original se puede reformular como:

donde es obvio que la solución es dada la continuidad y estricta concavidad de u(c) y la concavidad de W. Asociado a ese único valor de c está el único valor de n que resuelve P1, y tiene como máximo elementos distintos de cero.

Por tanto, la asignación óptima (que debería corresponder con la asignación de equilibrio) tendrá como máximo gente trabajando en turnos distintos, un número de turnos normalmente inferior a los posibles, y el resto no serán objeto de intercambio.

El número de turnos de distintos tipos que se pongan en funcionamiento y el trabajo asignado a cada uno de ellos en el problema P.1 dependerá, lógicamente, de los coeficientes, tanto en la función objetivo como en las restricciones, como de los parámetros de las restricciones, esto es, de los valores de
Así, las condiciones de primer orden o restricciones del problema dual serían:

donde es el multiplicador de Lagrange de la restricción (i.1); cada es el multiplicador de la restricción del capital correspondiente al momento de inicio , es decir, cada una de las (i.2), por tanto, si el turno j comienza en y se extiende hasta el momento , le afectan los multiplicadores. de las restricciones correspondientes a los momentos de inicio desde hasta , dado que en el capital utilizado por j quedaría disponible para otro turno. El multiplicador es el correspondiente a la restricción de la oferta de trabajo. Para los turnos que reciben masa estrictamente positiva la condición (14) se debe cumplir con igualdad.

En cuanto a la probabilidad que se les asigne, es decir, los valores de , dependen de los coeficientes k y del capital existente . Así, si simplificamos la variedad de turnos mediante el siguiente supuesto:
SUPUESTO 2: todos los turnos requieren el mismo número de unidades de capital por empleado, es decir, el ratio k es constante para todos los tipos de turnos.

Entonces, identificamos turnos con jornadas de trabajo, esto es, pares (t,h), y la producción
instantánea de cada jornada dependerá sólo del empleo, puesto que f(k) = B = constante. Con este supuesto, el problema P.1 se simplifica. Para resolverlo calculamos el valor de , dado que las que permitan alcanzar el máximo valor del consumo serán también los que resuelvan el problema P.1 simplificado si en la restricción (i.1) sustituimos el valor de

De esta forma las restricciones del problema tienen coeficiente 1 para las variables correspondientes (el coeficiente de será 0 en la restricción correspondiente a un t anterior a que la jornada j comience, o posterior a que j termine). Además, el parámetro determina el máximo empleo o puestos de trabajo que pueden ocuparse simultáneamente.

Entonces, si por parte del capital la restricción no es operativa, es decir, , existirá sólo una jornada que será la jornada tal que . Ello implica que no existirá desempleo, pero el capital disponible sólo se utilizará el tiempo que dure dicha jornada.

Si la restricción operativa es la del capital, es decir, , por lo que en cada momento el porcentaje de empleo, como máximo, es menor que 1, entonces se asignará todo el empleo posible a la jornada , esto es, , y dependiendo de la duración de dicha jornada y de los valores de la función g(s), se irán asignando probabilidades al resto de jornadas, de forma que cuanto menor sea el valor de mayor será el número de jornadas con probabilidad positiva, aunque como máximo a de ellas.


4. Determinación de las Jornadas de Trabajo

Nos proponemos en esta sección analizar la determinación de las jornadas que efectivamente se van a trabajar resultado de la interacción de las preferencias de los individuos y de la tecnología. Así, las preferencias de los agentes determinan el salario que remunera cada posible jornada, y la empresa decide el tipo de jornadas que realizarán los empleados.

4.1 Determinación de los salarios

Las ecuaciones (6), (7) y (8) recogen el problema de maximización individual. De las condiciones necesarias obtenemos que:.

donde son, respectivamente, los multiplicadores de la restricción presupuestaria y de la restricción consistente en que el individuo no puede asignar más que una unidad de probabilidad entre las diferentes jornadas. Podemos expresarlo de la siguiente forma:

donde es la inversa de la utilidad marginal del consumo. El multiplicador es no negativo, e igual a cero si se asigna una probabilidad positiva a la jornada de longitud 0. Es decir, será cero si no todos los individuos trabajan en el equilibrio. La condición (18) se mantiene con igualdad estricta para los contratos que especifiquen una probabilidad positiva de trabajar una jornada s.

Por tanto, sólo se ofrecerá trabajo para las jornadas en las que el salario alcance el nivel que indica el lado izquierdo de (18), y dado que y se determinan en el equilibrio, se puede interpretar como el salario de reserva de las diferentes jornadas, y se define como:

donde son los respectivos valores de equilibrio. Dicho salario de reserva es el salario que la empresa debe pagar para atraer trabajadores a las distintas jornadas.


4.2 Demanda de empleo a turnos.

El problema de la empresa es el planteado en las ecuaciones (4) y (5), es decir el problema:

Las condiciones necesarias para una solución, teniendo en cuenta que el capital está restringido para cada momento t, y que todo el empleo demandado para una jornada será utilizado (por lo que las restricciones de cada N(s) se cumplirán con igualdad y las sustituimos en la función objetivo) serían:


y

donde cada es el multiplicador de la restricción del momento de inicio , y si el turno j se extiende hasta , entonces es el multiplicador de la restricción del momento de inicio anterior (como ya se comentó con la condición 14).

La condición (21) establece que ningún turno puede obtener beneficios extraordinarios en el equilibrio, y los turnos que efectivamente se pongan en marcha generan beneficio 0. La condición (22) establece que el coste de emplear una unidad de capital es igual a la suma del coste derivado de utilizar esa unidad de capital en cada momento. Cada es el precio de una unidad de capital empleada por los turnos que comienzan o se extienden al momento . Por tanto, el coste unitario del capital utilizado en un turno, como se refleja en la ecuación (21) es una proporción del coste unitario total del capital, que depende del tiempo en el que se está utilizando, y que, por tanto, impide que quede disponible para otros turnos que podrían solaparse con ese.

De la condición (21) podemos concluir que la empresa pondrá en marcha los turnos en los que la producción sea igual al coste, esto es, el coste salarial más el coste del capital necesario.

El lado izquierdo de (21) es homogéneo de grado 1 en (k,e), por tanto, para cada jornada (t,h) que efectivamente se trabaje en el equilibrio únicamente se puede determinar el ratio (que denominamos k), de entre los tipos de turnos que pueden realizar dicha jornada (si en el equilibrio existieran dos turnos con la misma jornada necesariamente el ratio k/e es el mismo para los dos por los rendimientos constantes a escala de la función f).

Definimos la función de beneficios:

donde . La condición necesaria (21) establece que un tipo de turno que es operado en el equilibrio debe satisfacer:

 

Entonces para analizar las características de las jornadas que efectivamente se van a realizar, analizamos para un valor de dado, los valores de (t,h) que maximizan la función (23). Ello exige especificar la función g(t,h) que va a determinar el output de la jornada (t,h) y la función v(t,h) que representa las preferencias acerca de las distintas jornadas y el equilibrio determinará los salarios, como se deduce en la condición (20) anterior.


4.2.1 Descripción de las preferencias acerca de las jornadas de trabajo.
Función v(t,h).

La función v(t,h) mide la desutilidad de trabajar cada jornada (t,h). Si suponemos, siguiendo a Dupaigne (2001) que el valor del ocio varía durante el día, tanto la duración de la jornada como el momento de inicio de ésta afectan a la desutilidad. Entonces, la desutilidad de trabajar una jornada que comienza en el momento t y que acaba en el momento t + h es igual al valor del ocio perdido durante ese tiempo, y el valor del ocio perdido (en tiempo continuo) es:

donde es la función que representa las preferencias por el ocio. Además, podemos considerar, como hace Dupaigne, que es simétrica en el intervalo [0,1], con un valor mínimo, ,en el punto medio, esto es, , y con un valor máximo en los extremos, . Ver gráfico 1:

La función indica, por tanto, que el ocio se valora menos en la mitad del período (por ejemplo las 12 del mediodía) y la gente preferiría distribuir su jornada de trabajo de forma simétrica en torno a ese punto. Dada una jornada de ocho horas, la desutilidad de trabajar se minimizaría comenzando a las 8h. y finalizando a las 16h.


4.2.2 Productividad de las jornadas de trabajo. Función g(t,h).

En la sección 2.1 definimos la función g(t,h) como un indicador del tiempo de trabajo efectivo correspondiente a una jornada que empieza en t y finaliza en t + h. La cuestión que introducimos es que el tiempo de trabajo efectivo difiere del tiempo de trabajo real a causa de un efecto "fatiga" que se acentúa, además de con la duración de la jornada, conforme el momento de inicio difiere del de la jornada "habitual". El descenso en la productividad a medida que aumentan las horas de trabajo se considera, también, en Mulligan (1998), Fitzgerald (1998,b), Booth y Ravallion (1993), aunque no suponen la existencia de turnos

Además, la producción total de un turno se ha definido como: , entonces, como es la producción instantánea y el tiempo transcurre de forma continua, aunque las jornadas empiezan en momentos discretos:, ...... definimos un indicador del tiempo "efectivo" de trabajo que transcurre a partir del momento t hasta t + h como:

de esta forma, conforme aumenta la duración de una jornada, la "productividad marginal" disminuye, a partir de cierto momento decrece. Análogamente, la productividad marginal decrece conforme el momento de inicio se aleja de y aumenta conforme el momento de inicio se acerca a . Ver gráfico 2:

Podríamos considerar que el momento de máxima productividad, , se alcanza por la mañana temprano, por ejemplo.

4.2.3 La jornada " mejor".

Teniendo en cuenta que en el equilibrio competitivo el salario correspondiente a cada jornada que se ponga en marcha debe ser igual al salario de reserva, definido en (20), y que para un valor de dado, f(k)está determinado y será una constante, por ejemplo, B, el tipo de jornada que resuelve (24), será:

y dada la forma de las funciones

El conjunto de posibles jornadas es finito, y no convexo, por tanto, para establecer las condiciones necesarias para la existencia de una jornada óptima definimos, primero, las condiciones que se deberían cumplir si , y el conjunto S fuera un rectángulo en y, segundo, la existencia de una jornada en S que cumple las condiciones anteriores.
Así, las condiciones de primer orden son:

El momento de inicio óptimo es aquel instante en el que la utilidad marginal del ocio ponderada por la utilidad marginal del consumo coincide con la productividad marginal en dicho instante, al igual que el instante óptimo de finalización. Dadas las funciones e y definidas anteriormente, la condición (29) y, también, las condiciones de 2º orden se cumplirían en los puntos del gráfico siguiente (las funciones e y incluyen el valor de las constantes):

Entonces, para cada jornada (que a su vez le corresponde un k/e determinado, o para cada turno (t,h,k)) podemos calcular el valor de y establecer una ordenación. Si la jornada , esa será la de mayor , y así, sucesivamente.

Volviendo al problema (P.2), siguiendo las implicaciones que se deducen del óptimo de Pareto, y de acuerdo con las técnicas de la programación lineal: las jornadas que se trabajen tendrán una medida , el capital utilizado en esas jornadas será y el output . Además, se cumple que:

PROPOSICION 2: Existe sólo un tipo de turno si:


es decir, si existe un tipo de turno con beneficio marginal mayor que los demás tipos de turnos, y el capital disponible en la economía permite que todo el empleo sea asignado a dicho turno (no hay restricciones de capital). Este turno y, por tanto, la jornada correspondiente será la única en la que se trabaje.

Prueba: Dado que en el equilibrio competitivo coinciden la demanda y la oferta de empleo para las distintas jornadas, y el capital utilizado no puede superar el capital disponible en la economía, el problema (P.2) es equivalente a:

siendo los coeficientes en la función objetivo . Bajo las condiciones i) e ii) la solución es .


PROPOSICION 3: Existe más de un tipo de turno ....., con si:

cuyas jornadas de trabajo puede que se solapen parcialmente o no.

Por tanto,
                                                      iii.a) si no se solapan:
                                                     iii.b) si algunos se solapan, las probabilidades asignadas cumplen la restricción del capital en cada momento:

La proposición 3 establece que si el capital disponible no es suficiente para asignar el empleo a un solo turno, se pondrá en funcionamiento más de uno, asignando todo el capital disponible a lo largo de todo el período, primero al turno con mayor beneficio marginal, cuando este turno acabe, si no ha concluido el período y como no se ha empleado a toda la población, se asignarán al siguiente turno mejor, y así sucesivamente.

Prueba: se deduce de la resolución del problema P.3 en el caso de que la relación entre el capital disponible, , y el capital por puesto de trabajo en el turno "mejor" sea menor que 1.


5. Implicaciones y Consideraciones

El enfoque de equilibrio general adoptado en el modelo permite poner de manifiesto las interrelaciones entre las preferencias de los trabajadores y los objetivos de las empresas, que se han definido, a su vez, sobre un conjunto de posibles jornadas de trabajo distintas. Este conjunto de posibles jornadas se obtiene a partir de un conjunto de momentos de inicio y un conjunto de duraciones, de forma que las jornadas se diferencian entre sí tanto por el momento de comenzar a trabajar, como por el tiempo de trabajo. En este sentido se plantea el concepto de jornada flexible: la posibilidad de elegir el horario de trabajo. La flexibilidad en la jornada de trabajo es, por tanto, mucho mayor que con un sistema de turnos uniformes. Además, las variables momento de inicio y duración que definen estas jornadas determinan la productividad del factor trabajo y, a su vez los trabajadores tienen definidas unas preferencias acerca de las distintas jornadas. El resultado es que de todas las jornadas posibles se realizarán aquellas que permitan el equilibrio entre la demanda para trabajar, definida por jornadas, por parte de la empresa y la oferta de trabajar en las distintas jornadas realizada por los trabajadores.

Para describir las preferencias de los trabajadores acerca del horario de trabajo se ha definido una función que mide el "valor" del ocio perdido en cada jornada, a partir de que el ocio se valora de forma distinta a lo largo del tiempo (menos en las horas centrales del día que en el resto, por ejemplo). En cuanto al efecto del horario de trabajo sobre la productividad, se define una función que establece que la productividad marginal decrece a partir de cierto momento del período.

Para determinar el equilibrio en el mercado de trabajo, el salario correspondiente a las jornadas que la empresa va a demandar que se realicen debe compensar la desutilidad de los trabajadores. Por tanto, comparando la productividad de las diferentes jornadas con el salario que se debe pagar para atraer a los trabajadores, existe una jornada óptima, o jornada "mejor", que podríamos identificar con la jornada habitual o estándar. Esta jornada se realizará.

El modelo permite establecer, por tanto, que la posibilidad de que se realicen más jornadas aparte de la óptima dependerá de la relación entre el capital y el trabajo disponibles en la economía. Esto es, dada la combinación capital-trabajo asignada a la jornada mejor, si el capital disponible permite que durante el tiempo que dura esa jornada esté empleada toda la población, sólo existirá esa jornada de trabajo. Si toda la población no está empleada en ese turno, se asignarán trabajadores a la siguiente jornada mejor, y así sucesivamente y siempre que el capital disponible sea suficiente para combinarse con el empleo disponible..


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Autor: Antonio García Sánchez
Dirección Universidad Politécnica de Cartagena

Autor: María del Mar Vázquez Méndez
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